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當(dāng)所求解問題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率,或者是某個隨機(jī)變量的期望值時,通過某種“實驗”的方法,以這種事件出現(xiàn)的頻率估計這一隨機(jī)事件的概率,或者得到這個隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征,并將其作為問題的解。
工作過程
蒙特卡羅方法的解題過程可以歸結(jié)為三個主要步驟:構(gòu)造或描述概率過程;實現(xiàn)從已知概率分布抽樣;建立各種估計量。
蒙特卡羅方法解題過程的三個主要步驟:
(1)構(gòu)造或描述概率過程
對于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問題,如粒子輸運問題,主要是正確描述和模擬這個概率過 程,對于本來不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問題,比如計算定積分,就!須事先構(gòu)造一個人為的概率過程,它的某些參量正好是所要求問題的解。即要將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問題。
(2)實現(xiàn)從已知概率分布抽樣
構(gòu)造了概率模型以后,由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的,因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量),就成為實現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實驗的基本手段,這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機(jī)抽樣的原因。!簡單、!基本、!重要的一個概率分布是(0,1)上的均勻分布(或稱矩形分布)。隨機(jī)數(shù)就是具有這種均勻分布的隨機(jī)變量。隨機(jī)數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個簡單子樣,也就是一個具有這種分布的相互獨立的隨機(jī)變數(shù)序列。
(3)建立各種估計量
一般說來,構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后,即實現(xiàn)模擬實驗后,我們就要確定一個隨機(jī)變量,作為所要求的問題的解,我們稱它為無偏估計。建立各種估計量,相當(dāng)于對模擬實驗的結(jié)果進(jìn)行考察和登記,從中得到問題的解。
數(shù)學(xué)應(yīng)用:
通常蒙特·卡羅方法通過構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來解決數(shù)學(xué)上的各種問題。對于那些由于計算過于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒有解析解的問題,蒙特·卡羅方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。一般蒙特·卡羅方法在數(shù)學(xué)中!常見的應(yīng)用就是蒙特·卡羅積分。
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